「博士の愛した数式」との出会い ～ 本が導いてくれた美しい世界

小さい頃から数が好きだった。

大相撲やプロ野球などのスポーツは、力士や選手が繰り広げる勝負そのものにも熱中したが、その結果として数字で表される勝敗や記録にも興味を持った。

足し算、引き算で簡単に計算できる力士の星取ほしとり表に始まり、計算の仕方を教えてもらったプロ野球各チームの勝率、選手個人の打率、防御ぼうぎょ率などが載っている新聞の一覧表をながめるのが好きだった。

また、オリンピックの影響を受けたせいか、陸上の世界最高記録を暗記するのも趣味のひとつだった。

「博士の愛した数式」の記憶

算数の専任になって

数と言えば、小説「博士はかせの愛あいした数式すうしき」（著者：小川おがわ洋子ようこさん、2003年）のことが記憶に残っている。

わたしがこの本を初めて読んだのは、発刊されてから随分ずいぶん年月が過ぎた2008年のことだ。

この年はわたしが、学級担任から、算数専任に移った年である。

物語の幸せを願う

この本は、「博士」と呼ばれている数学者と、語り手である「私」、博士から「ルート」と名付けられた「私の息子」の３人が織おりなす日常を、数学や野球を交まじえながら描いた小説だ。

読み進めているうちに、３人をすごく応援したくなり、「この物語が幸せに終わってほしい」と願ったのを思い出す。

また、「数学の世界」（この本の言葉を借りれば、その入り口を少し覗のぞいただけだが・・・）は、わたしの数への興味など、簡単に吹き飛ばしてしまうほど、広大で、奥行きが深く、慎重で、大胆で、無限の可能性を秘めていることを知り、そのことに大いに感動し、数学を敬愛の念で見つめ直したことも思い出した。

「友愛数」

「友愛数ゆうあいすう」という数の組み合わせがあることは、「友愛数」という言葉とともに、この本の中で初めて知った。

220の約数やくすうの中で、自分自身（220）を除のぞいた約数は、1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110である。

これらの約数を全部足すと284になる。

（1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110=284）

一方、284の約数の中で、自分自身（284）を除いた約数は、1,2,4,71,142である。

これらの約数を全部足すと220になる。

（1+2+4+71+142=220）

つまり、自分自身を除いた220の約数を足し合わせると284になり、自分自身を除いた284の約数を足し合わせると220になる。

無限に存在する数の中で、220と284は、自分の体の中に、相手とつながる数を持っている「友愛数」なのである。

数字と「友愛」の絆

この物語に登場する「博士」は言う。

「220の約数の和わは284。284の約数の和は220。友愛数だ。滅多めったに存在しない組合せだよ。フェルマーだって、デカルトだって、１組ずつしか見つけられなかった。神の計はからいを受けた絆で結ばれ合った数字なんだ」

「博士」にそう言われると、「割り切れる数（約数）」を「足し合わせた数（和）」がお互いの数になるという「友愛数」が、とても不思議で、それでいてロマンチックな数の組み合わせに思えた。

「完全数」

「私」が「28の約数を足すと、28になるんです」と言ったとき、「博士」は、28=1＋2＋4＋7＋14と書き、「完全数かんぜんすうだ」と言った。

つまり、28の約数の中で、自分自身（28）を除いた約数は、1,2,4,7,14で、これらの約数を全部足すと28になる。

「完全数」は、この小説を読み終わった後、家にある本「数学入門」（下巻、著者：遠山とおやま啓ひらくさん、1960年第１刷、1981年第25刷発行）でも調べてみた。

そこには、ピタゴラス（ピュタゴラス、紀元前６世紀頃）のことが書いてあり、「ピタゴラスにとって、１つ１つの数は何か特別な意味をもっていた。・・・その中でも６は完全な数であった。なぜならその約数を加えたものに等しいからである。６の約数 ― ６自身は数えない ― は１，２，３であるが、それを加えると、ちょうど６になるのである」という説明があった。

「完全数」のもう１つの性質

「博士」も、「１番小さな完全数は６」と説明する。

その言葉を聞き、「（28が完全数であるという自分の発見が）別に珍しくないんですね」という「私」に対して「博士」は、「いいや、とんでもない。完全の意味を真に体現する、貴重な数字だよ。28の次は・・・。その次は・・・。数が大きくなればなるほど、完全数を見つけるのは難しくなる」と言った。

そして、完全数のもう１つの性質を説明する。

完全数は、「連続した自然数しぜんすうの和」で表すことができるのだ。

つまり、完全数６は１＋２＋３という連続した自然数の和で表され、完全数28も１＋２＋３＋４＋５＋６＋７という連続した自然数の和で表すことができる。

（６=1+2+3、完全数６は、１から３までの連続した自然数の足し算の合計で表せる）

（28=1+2+3+4+5+6+7、完全数28は、１から７までの連続した自然数の足し算の合計で表せる）

「博士」は、28の次に大きな完全数も、「連続した自然数の和」で表すことができると、その完全数を１＋２＋３＋４＋５・・・と連続した自然数の足し算をして説明する。

わたしは、見つけることさえ大変な完全数が、こんなシンプルな性質を持っているという、そのギャップに驚いた。

「虚数」のけなげさ

この物語に登場する３人は、「ルート記号の中に数字をはめ込むとどんな魔法がかかるか」試ためすのだが、その中で「虚数きょすう」の話も登場する。

「虚数」とは、マイナス１の平方根へいほうこん、つまり２乗じょうすると－１になる数のことだ。

「２乗じょう」とは「同じ数」を「２回掛かける」ことで、１×１は１だし、（－１）×（－１）も１になってしまい、２乗して－１になる数が見当たらない。

「そんな数は、ないんじゃないでしょうか」と言う「私」に、「博士」は、「いいや、ここにあるよ」と言い、自分の胸を指差ゆびさしてこう言う。

「とても遠慮深い数字だからね。目につく所には姿を現わさないけれど、ちゃんと我々の心の中にあって、その小さな両手で世界を支えているのだ」

思わず、「ハァー」とため息が出るほど、きれいで、けなげな表現だ。

「博士」にこう言わせる、作者の小川洋子さん、すごい人だなあ。

「虚数」のイメージが変わる

高校時代、方程式の解かいとして、「虚数」は何度も登場し、その記号であるアルファベットのアイの小文字「i」を、ノートや答案用紙に数えきれないほど書いたと思う。

当時の先生も、こうやって「虚数」の説明をしてくれたのだろうが、覚えていない。

「虚数」の「虚」が、「中身がない、うつろ」という意味なので、わたしは、「虚数」をずっとネガティブなイメージでとらえていた。

しかし、この本を読んだ後、別の本で、アイの小文字「i」は、「イマジナリー・ナンバー」（imaginary number=英語で「想像上の数字」という意味）の頭かしら文字からとったということを知り、なるほどと思った。

「博士」が自分の胸を指差し、「心の中にある」と言ったのにはそういう意味があった。

「実数じっすう」に対して「虚数きょすう」と名付けられた数は、「実数」と一緒になった「複素数ふくそすう」という形で、すべての数を表すことを可能にしたという。

そのことを知り、わたしの「虚数」のイメージは、とてもポジティブなものに変わった。

オイラーの公式

この本の題名になっている「博士の愛した数式」は、オイラーの公式（等式）である。

この数式を初めて見たわたしは、図書館へ行き、数学の入門書で数式の意味を調べ、気づいたことをノートに書いた。

今でもそのノートが残っているが、情けないことに、最初から読まないと意味がわからない記述がたくさんある。

ただ、印象に残っているのは、生まれも育ちも違う「指数しすう関数かんすう」の世界と、「三角さんかく関数かんすう」の世界が、「複素数ふくそすう」（実数＆虚数）の世界で結びついたということである。

複雑なものを簡潔で美しく

オイラーの公式は、下の式１のような数式で表される。

　（式１）

上の式１の θ（シータ、角度を表す文字・記号） に πパイ を代入だいにゅうすると、下の式２のように、左辺は「 eイー の i πアイパイ 乗じょう」となり、右辺は「－１」（※以下参照）となる。

　（式２）

※　式１の θ に π を代入すると、右辺は、cosコサインπ＋i sinサインπとなります。
i は、アイ、前述した「虚数単位」のこと。
π は、パイ、円周率えんしゅうりつのことです。
座標ざひょうの原点げんてんを円の中心とした半径１の単位円を使った弧度こど法ほうでは、180°を π で表します。

cosπは cos180°のこと、cos180°は－１なので、cosπ＝－１。
sinπは sin180°のこと、sin180°は０なので、i sinπ＝０。
つまり、右辺のcosπ＋i sinπ＝－１＋０＝－１となります。

また、ここでは、自然対数しぜんたいすうの底ていである eイー（ネイピア数＝2.72818・・・と続く超越数ちょうえつすう）の説明は省略させていただきます。

物語の中では、式２の右辺の－１を左辺へ移項いこうして＋１とし（その結果右辺は０となる）、左辺の π と i を入れ替えた「 eイー の π iパイアイ 乗じょう＋１＝０」という数式を「博士」が書く。

下の式３のような数式だ。

　（式３）

複雑なものがたくさん詰め込まれているのに、それを感じさせないこの簡潔な数式。

わたしは、この数式の美しさに、再び「ハァー」とため息をついた。

本の作者の小川洋子さんは、この数式を、物語に登場する「私」の言葉として文学的に表現する。

この言葉がまたまた、思わずため息が出るようなすてきな言葉なのだが、ここでは、その言葉には触れず、本の中へ静かにしまっておくことにしよう。

本に感謝しながら

この本を読まなければ、この数式とは一生いっしょう出会わなかったことだろう。

こんなに美しい世界に導いてくれたこの本に感謝したい。

わたしは、「読書＝出会い」と思い、本は味わうものだと考えている。

世の中には知らないことの方が圧倒的に多い。

まだ出会ったことのない、わたしにとって感動的なものが、世の中にはたくさんあることだろう。

そんな出会いを求めて、これからも本を味わい続けたいと思う。

※　この小説に出てくる「博士」は、阪神タイガース時代の江夏えなつ豊ゆたかさんの大ファン。当時の江夏さんの背番号は完全数28。江夏さんのことを書いた記事は、こちらをどうぞ。

だいじょうぶ ドットコム

「江夏の21球」、わたしの記憶 ～ 1979プロ野球日本シリーズ第７戦９回裏の攻防

https://daijohbu.com/baseball-yutaka-enatsu

得点４対３、広島カープ１点リードで９回裏を迎える。マウンドには、広島カープの江夏豊投手。これで「江夏の21球」の舞台が整った。日本シリーズ最終戦、最終回、９回裏、26分49秒の攻防、これが球史にその名を刻む名勝負となる。